A Tag：贪心

猜想段的长度只会有$1$和$2$（感性理解，应该可以反证……），然后就可以DP/贪心了 B Tag：贪心、组合

考虑如何构造合法方案。从右往左考虑球，因为当前球的位置相比于其他未考虑的球靠右，所以它要尽可能产生负贡献（成为三元组的$a$），否则尽可能产生$0$贡献（成为三元组的$b$）。

产生负贡献的条件是存在其他两种颜色的球构成的二元组，产生$0$贡献的条件是存在一种其他颜色未组成二元组的球。在产生$0$贡献时当前球可以选择一个未组成二元组的球形成二元组，此时对答案有"未形成二元组数量的球"的贡献；而产生负贡献时则对答案有“二元组数量”的贡献。

将所有贡献乘起来再乘上$N!$就是答案。 C Tag：构造

考虑最后一次操作，因为操作是将数字变为当前数字和相邻数字之和，而数都是正的，所以最后一次操作的结果一定会比相邻两个数要大。

所以考虑倒着做，每一次选择当前$B$序列中不满足$A_x = B_x$的最大值位置$x$，它一定满足比相邻两个位置的值之和大，否则无解。找到这个位置之后我们认为最后若干次操作在$x$上进行，然后进行若干次逆操作直到$A_x = B_x$或者$B_x < B_{x+1}+B_{x-1}$。这么做下去如果发现存在$A_x > B_x$则无解，否则统计逆操作次数即为答案。 D Tag：构造、二分图匹配

题目等价于：设$b_{i,j} = \lfloor\frac{a_{i,j} - 1}{M} \rfloor$，需要重排行使得$b$的每一列是一个$0$到$N-1$的排列。

不难证明将某一列安排为$0$到$N-1$的排列之后删去这一列，剩余的$b_{i,j}$矩阵也有解。所以我们按列去做。不难发现这是一个行和数字的匹配问题，Dinic/匈牙利即可构造出一种方案。

最后我们按照$b_{i,j}$的顺序排列$a_{i,j}$就可以得到第一次输出的矩阵，然后按照$b_{i,j}$从小到大对列进行排序即可得到第二次输出的矩阵。 E Tag：贪心

考虑初始的$S$中字典序最小的字符$x$。我们希望$x$在开头出现得尽可能多。

设初始的$S+rev(S)$中最长的$x$连续段长度$L$，则最后的串的前缀$x$长度一定可以构造为$\min\{N , 2^{K-1}L\}$，因为我们可以将$S+rev(S)$的$L$个连续的$x$放在$S'$末尾，就可以每一次倍长$x$连续段长度，最后把这个连续段放在$S'$的最前面即可。

对于$2^{K-1}L \geq N$的情况直接输出$N$个$x$，否则枚举所有可能的$S+rev(S)$的子串，可以$O(N)$得到进行上述做法之后得到的串。因为有$O(N)$个这样的子串，所以复杂度是$O(N^2)$的。 F Tag：构造

我们称一个串$S$是好的当且仅当存在$k$满足：$S$满足$(k,l)$。我们先考虑判断一个串$S$是否是好的。考虑如下做法：

1、如果串长为$1$那么一定满足；如果串中只存在一种数字，则串$S$是好的当且仅当$|S| \geq L$；

2、否则考虑其中的最小值$min$，并设$S$中下标在$[l_1,r_1]\cup[l_2,r_2] \cup ... \cup [l_k,r_k](\forall i \in [2,k] , r_i > l_i + 1)$内的所有位置的值均为$min$。

3、考虑其中所有的区间$[l_i,r_i]$，如果$r_i - l_i + 1 < L$则$S$不是好的，否则将$[l_i,r_i]$的$min$替换为$\lfloor \frac{r_i - l_i + 1}{L} \rfloor$个$min + 1$，然后回到操作$1$。

对于操作3的正确性可以这样理解：对于区间$[l_i,r_i]$，在接下来划分的过程当中，这个区间划分出来的所有子区间长度至少为$L$，否则当做到$(min+1,L)$的时候当前串是不好的。所以这$r_i - l_i + 1$个$min$可以等价为$\lfloor \frac{r_i - l_i + 1}{L} \rfloor$个$min + 1$。用$set$维护整个序列，不难得到序列中出现过的数的总数是$O(n)$级别的，所以复杂度为$O(nlogn)$。

然后考虑原问题。不妨拓展整个问题，变为：有两个长度为$|S|$的数组$L_i , R_i$，你需要求出$\sum\limits_i \sum\limits_j L_iR_j [S_{i,j}\ is\ good]$。原问题显然是拓展问题的$L_i = R_i = 1$的情况。对于这个问题，与上面的做法类似：

1、如果串中只存在一种数字，可以前缀和$O(n)$计算答案；

2、否则考虑其中的最小值$min$，并设$S$中下标在$[l_1,r_1]\cup[l_2,r_2] \cup ... \cup [l_k,r_k](\forall i \in [2,k] , r_i > l_i + 1)$内的所有位置的值均为$min$。

3、考虑其中所有的区间$[l_i,r_i]$，计算左右端点在$[l_i,r_i]$内的答案，并将$[l_i,r_i]$内的所有$min$替换为$\lfloor \frac{r_i - l_i + 1}{L} \rfloor$个$min + 1$，更新$LR$数组，然后回到操作$1$。

问题是如何更新$LR$数组。我们举题解中的例子来解释（因为真的不好直接讲啊QAQ）：

考虑序列$1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ 1\ a\ b\ c\ d\ e$，其中$a,b,c,d,e>1$，$L=3,min=1$。那么接下来序列会缩成$2\ 2\ 2\ a\ b\ c\ d\ e$。考虑新序列的串$2\ 2\ a\ b\ c$，它可以对应原序列中$\underbrace{1\ 1\ ...\ 1}_{6 \sim 8\text{个}1}\ a\ b\ c$，因为这样的串可以通过上述操作变为$2\ 2\ a\ b\ c$。这意味着$L'_2 = L_2 + L_3 + L_4$。其余的$LR$是类似的。

总复杂度和上面一样是$O(nlogn)$的。有一些细节：1、对于3操作中新加入的数字段，需要把左右端点在这个数字段内的贡献减掉避免重复；2、注意$r_i - l_i + 1 < L$的情况，可以认为在序列中插入了一个分隔符，稍微需要一些操作。